Mathc initiation/a524

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La transformée de Laplace d'une intégrale[modifier le wikicode]


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                     /t
   F(t)  <---->   L{| F(u) du} =  (1/s)f(s)         ?    
                    /0
  sin(t)          (1/s) 1/(s^2+1)                1/(s^3+s)                   
  cos(t)          (1/s) s/(s^2+1)                1/(s^2+1)                    
         
  sinh(t)         (1/s) 1/(s^2-1)                1/(s^3-s)                     
  cosh(t)         (1/s) s/(s^2-1)                1/(s^2-1)                   
                  
  exp(t)          (1/s) 1/(s-1)                  1/(s^2-s)


Les fonctions :
Je vous propose de remplacer le nom du fichier fa.h par fb.h, fc.h ... fj.h dans les fichiers c00a.c et c00b.c pour tester les exemples a, b, c ... j
Présentation du problème :  

* Soit  F(t) une fonction, et soit f(s) sa transformée de Laplace :
              /+oo
             |
   L{F(t)} = |  exp(-s t) F(t) dt = f(s)
             |
             /0
* Une propriété de la transformée de Laplace nous permet d'écrire :
              /t
             |              1
           L{|  F(U) dU} =  - f(s)
             |              s
             /0
* c00a.c

* Remarque, si G est une primitive de F, alors

              /t
             |
             |  F(U) dU = G(t)-G(0)
             |
             /0  

* Nous obtenons donc :
              /+oo
             |                              1
             |  exp(-s t) [G(t)-G(0)] dt =  - f(s)
             |                              s
             /0
* c00b.c
             
* Conclusion :
Si nous connaissons f(s), la transformée de Laplace d'une fonction F, 
si nous souhaitons connaitre la transformée de Laplace de l'intégrale entre 0 et t de la fonction F, il suffit de diviser f(s) par s, soit f(s)/s.