Mathc initiation/a524
La transformée de Laplace d'une intégrale[modifier le wikicode]
Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail :
- x_afile.h ............. Déclaration des fichiers h
- x_def.h .............. Déclaration des utilitaires
- x_lt_dt.h ............ L'intégrale
/t
F(t) <----> L{| F(u) du} = (1/s)f(s) ?
/0
sin(t) (1/s) 1/(s^2+1) 1/(s^3+s)
cos(t) (1/s) s/(s^2+1) 1/(s^2+1)
sinh(t) (1/s) 1/(s^2-1) 1/(s^3-s)
cosh(t) (1/s) s/(s^2-1) 1/(s^2-1)
exp(t) (1/s) 1/(s-1) 1/(s^2-s)
Les fonctions :
Je vous propose de remplacer le nom du fichier fa.h par fb.h, fc.h ... fj.h dans les fichiers c00a.c et c00b.c pour tester les exemples a, b, c ... j
Présentation du problème : * Soit F(t) une fonction, et soit f(s) sa transformée de Laplace :
/+oo
|
L{F(t)} = | exp(-s t) F(t) dt = f(s)
|
/0
* Une propriété de la transformée de Laplace nous permet d'écrire :
/t
| 1
L{| F(U) dU} = - f(s)
| s
/0
* c00a.c * Remarque, si G est une primitive de F, alors /t | | F(U) dU = G(t)-G(0) | /0 * Nous obtenons donc :
/+oo
| 1
| exp(-s t) [G(t)-G(0)] dt = - f(s)
| s
/0
* c00b.c * Conclusion :
Si nous connaissons f(s), la transformée de Laplace d'une fonction F, si nous souhaitons connaitre la transformée de Laplace de l'intégrale entre 0 et t de la fonction F, il suffit de diviser f(s) par s, soit f(s)/s.